Bảng công thức đạo hàm đầy đủ nhất

Bước vào chương trình cấp 3, ai cũng phải trải qua giai đoạn rối não với các công thức đạo hàm từ đơn giản đến phức tạp. Thực tế cho thấy rất nhiều bạn thường bị lủng kiến thức nếu không có sự hiểu biết rõ ràng những bảng công thức đơn giản, các hệ số sin cos này. Hy vọng bài viết sau có thể giúp bạn nắm vững kiến thức hơn.

Đạo hàm

Đạo hàm của một hàm số thực trong giải tích toán học là sự mô tả sự biến thiên của hàm số tại một điểm nào đó. Đạo hàm cùng với tích phân (một phép toán ngược lại), là một trong hai khái niệm cơ bản trong giải tích, giúp cho chúng ta tìm ra con số chính xác nhất cho các kết quả tính toán.

Biểu diễn hình học có hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị biểu diễn hàm số chính là biểu hiện của đạo hàm. Công thức đạo hàm không chỉ có mặt quan trọng về toán học, mà còn có vai trò khá quan trọng trong vật lý. Môn học vật lý với những sự biểu diễn về vận tốc, thời gian và đạo hàm biểu diễn vận tốc tức thời của một chất điểm chuyển động hoặc cường độ dòng điện tức thời tại một điểm trên dây dẫn.

Môn học này không chỉ giúp chúng ta tính toán tốt mà còn rèn thêm cho chúng ta cách giả định các trường hợp có thể xảy ra trong một bài tính, hoặc một hiện tượng vật lý…

Các quy tắc cơ bản về cách tính đạo hàm thường gặp:

quy tắc tính đạo hàm

Ngoài những quy tắc cơ bản, chúng ta thường hay gặp những bài đạo hàm khác xa so với công thức cơ bản, vậy thì cách nào để chúng ta nhận diện nó? Giới thiệu với các bạn công thức đạo hàm của một số hàm cơ bản thường gặp như bên dưới.

quy tắc tính đạo hàm thường gặp

Tích phân

Một dạng toán nữa mà chúng ta không thể bỏ qua khi đến với phần đạo hàm chính là tích phân. Cùng với các hàm số, tích phân là một khái niệm toán học và cùng với nghịch đảo của nó vi phân,  đóng vai trò là 2 phép tính cơ bản và chủ chốt trong lĩnh vực giải tích .

Có thể hiểu đơn giản diện tích hoặc diện tích tổng quát hóa chính là  tích phân. ta chỉ việc chia hình phẳng cần tính diện tích đó thành các hình nhỏ đơn giản hơn, được bao bởi các đoạn khi cần tính diện tích của nó.  Cách này dựa trên  cách tính diện tích như hình tam giác, hình vuông, hình thang, hình chữ nhật… với những công thức đã biết trước đó.

Tiếp theo, với một hình được bao bởi cả đoạn thẳng lẫn đường cong xét phức tạp hơn, ta cũng chia nó thành các hình nhỏ hơn. Nhưng thật bất ngờ, bây giờ kết quả chúng ta có thêm là các hình thang cong.  Diện tích của hình thang cong sẽ do công thức tích phân giúp ta tính được nó.

Vài nét về sự hình thành của tích phân

Được thực hiện từ cách đây 2.000 năm, những phép tính tích phân đầu tiên đã xuất hiện bởi Archimedes (287–212 trước Công nguyên). Hình thành khi ông tính diện tích bề mặt và thể tích khối của một vài hình như hình cầu, hình parabol và hình nón. Phải nói rằng, dù vào thời ấy chưa có khái niệm về đại số, hàm số hay thậm chí cách viết số dạng thập phân, nhưng phương pháp tính của Archimedes rất hiện đại. Nó đi chi tiết vào từng phần tính toán cụ thể.

Tiếp theo, Leibniz (1646–1716) và Isaac Newton (1642–1727) đã chính thức được khám phá ra tích phân, vi phân và môn toán học của những phép tính này, giải tích. Sử dụng mối liên hệ hình thức với ý tưởng chủ đạo là tích phân và vi phân là hai phép tính nghịch đảo của nhau, hai nhà toán học đã giải được một số lượng khổng lồ các bài toán quan trọng trong toán học, vật lý và thiên văn học.

Tiếp nối những thành công, các nhà toán học, vật lý đã tìm hiểu và nghiên cứu thêm, để ứng dụng tích phân tối ưu nhất. Có thể kể đến như

  • B. Fourier (1768–1830) khi nghiên cứu sự truyền nhiệt đã tìm ra chuỗi các hàm lượng giác có thể dùng để biểu diễn nhiều hàm số khác
  • Người đầu tiên lập bảng tra cứu các tích phân tính sẵn là Gauss (1777–1855. Ông đã cùng nhiều nhà toán học khác ứng dụng tích phân vào các bài toán của toán học và vật lý.
  • Cauchy (1789–1857) mở rộng tích phân sang cho số phức.
  • Riemann (1826–1866) và Lebesgue (1875–1941) là những người tiên phong đặt nền tảng lô-gíc vững chắc cho định nghĩa của tích phân.
  • Liouville (1809–1882) xây dựng một phương pháp để tìm xem khi nào tích phân vô định của hàm cơ bản lại là một hàm cơ bản.
  • Hermite (1822–1901) tìm thấy một thuật toán để tính tích phân cho các hàm phân thức. Phương pháp này đã được mở rộng cho các phân thức chứa lô-ga-rít vào những năm 1940 bởi M. Ostrowski.

Ngoài ra, còn khá nhiều nhà toán học đóng góp cho công việc phát triển và ứng dụng tích phân vào toán học và các ngành khác như âm nhạc, vật lý, ngôn ngữ học… Một số những nhà toán học đóng góp cho công việc này là G. N. Watson, E. C. Titchmarsh, E. W. Barnes, H. Mellin, C. S. Meijer, W. Grobner, N. Hofreiter, A. Erdelyi, L. Lewin, Y. L. Luke, W. Magnus, A. Apelblat, F. Oberhettinger, I. S. Gradshteyn, H. Exton, H. M. Srivastava, A. P. Prudnikov, Ya. A. Brychkov, và O. I. Marichev.

Các thuật toán để tính biểu thức tích phân vô định từ thập niên 1990 trở lại đây đã được chuyển giao sang và tối ưu hoá cho tính toán bằng máy tính điện tử, giúp loại bỏ sai sót con người, tạo nên khả năng tính hàng nghìn tích phân mới chưa bao giờ xuất hiện trong các bảng tra cứu.

Các dạng tích phân cơ bản thường được nhắc đến:

Các công thức đạo hàm và tích phân thật thú vị đúng không các bạn? Đôi khi thấy nó phức tạp, nhưng nếu bạn hiểu được quy tắc chung thì các phép toán này sẽ trở thành những người bạn đồng hành cùng bạn trong những phép toán khó. Cùng học cùng hiểu và cùng tìm ra những cách giải tích tốt nhất cho chính bản thân mình nhé!

Leave a Reply

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *